Sistem Pertidaksamaan Linear dan Penjelasannya

SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR

1. Pengertian Sistem Pertidaksamaan 

    adalah pertidaksamaan yang memiliki variabel paling tinggi berpangkat dua. Dalam menentukan         himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, kita memerlukan beberapa materi interval dan grafik.

2. Bentuk Umum

    Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat dengan koefisien a, b, c ∈ R, a≠0 yaitu:

ax2 + bx + c > 0

ax2 + bx + c < 0

ax2 + bx + c ≥ 0

ax2 + bx + c ≤ 0

ax2 + bx + c ≠ 0

Terkadang soal pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk yang berbeda dengan bentuk umum.

3. Akar-akar Pertidaksamaan

    Ada banyak cara untuk memperoleh akar-akar dari pertidaksamaan kuadrat.

    yang pertama yaitu dengan cara substitusi,pemfaktoran dll.

    Berikut dengan cara Pemfaktoran.

                                                                1.  x2 – 5x – 6 > 0

(x + 1) (x – 6) > 0

x + 1 = 0 ⇒ x = -1

x – 6 = 0 ⇒ x = 6

                                                               2. 4x2 + x – 5 ≤ 0

4 (x – 1) (x + 5/4) ≤ 0

x – 1 = 0 ⇒ x = 1

x + 5/4 = 0 ⇒ x = -5/4

4. Garis Bilangan

                    Kedua nilai akar pertidaksamaan kuadrat diubah menjadi dua titik dalam garis bilangan.

Letakkan bilangan yang lebih kecil di sebelah kiri, sedangkan bilangan yang lebih besar berada di sebelah kanan dan jangan lupa perhatikan dimana nantinya posisi angka nol.

Untuk tanda pertidaksamaan >, <, dan ≠ gunakan bulatan kosong (ο).

Sedangkan untuk tanda pertidaksamaan ≥ dan ≤ gunakan bulatan penuh.  

contoh:

1. x2 – 5x – 6 > 0

(x + 1) (x – 6) > 0

x + 1 = 0 ⇒ x = -1

x – 6 = 0 ⇒ x = 6

        2. 4x2 + x – 5 ≤ 0

4 (x – 1) (x + 5/4) ≤ 0

x – 1 = 0 ⇒ x = 1

x + 5/4 = 0 ⇒ x = -5/4

5. Tanda Uji

            Kita bisa menggunakan sembarang titik uji untuk mengetahui tanda suatu interval bernilai  positif atau negatif.

Namun, cara yang paling mudah adalah menggunakan titik nol (0) sebagai titik uji.Caranya substitusikan nilai x = 0 ke dalam pertidaksamaan, lalu hitung hasilnya. Jangan terpaku dengan besarnya nilai yang dihasilkan, akan tetapi perhatikan tandanya saja.Perhatikan tandanya saja apakah hasilnya Positif atau Negatif.

Contoh:

1. x2 – 5x – 6 > 0

substitusi x = 0

x2 – 5x – 6 = 02 – 5(0) – 6

= -6 (negatif)

2.4x2 + x – 5 ≤ 0

substitusi x = 0

4x2 + x – 5 = 4(0)2 + 0 – 5

= -5 (negatif)

6. Tanda Segmen

           Jika salah satu segmen sudah diketahui tandanya (positif atau negatif), maka tanda dua segmen lainnya bisa diketahui melalui dua pola berikut:

a. Koefisien “a” positif, maka pola tanda segmen adalah positif – negatif – positif.

b. Koefisien “a” negatif, maka polanya yaitu negatif – positif – negatif. (dicontohkan dalam cara singkat)

Dengan menggunakan dua pola tersebut, kita bisa saja tidak menghitung titik uji.

Karena hanya dengan mengetahui nilai koefisien “a” kita bisa mengetahui tanda segmen.

    Contoh:

                 1. x2 – 5x – 6 > 0

(x + 1) (x – 6) > 0

x + 1 = 0 ⇒ x = -1

x – 6 = 0 ⇒ x = 6

                                                     

                 2. 4x2 + x – 5 ≤ 0

4 (x – 1) (x + 5/4) ≤ 0

x – 1 = 0 ⇒ x = 1

x + 5/4 = 0 ⇒ x = -5/4

7. Segmen Penyelesaian

    Tanda pertidaksamaan menentukan segmen penyelesaian, yaitu:

• Tanda > dan ≥, himpunan penyelesaiannya adalah segmen bernilai positif.
• Tanda < dan ≤, himpunan penyelesaiannya adalah segmen bernilai negatif.
• Tanda ≠, himpunan penyelesaiannya adalah semua segmen kecuali dua titik/nilai akar.

    Contoh :

                    1. x2 – 5x – 6 > 0

tanda “>0“, pilih positif (+)

                    2. 4x2 + x – 5 ≤ 0

tanda “≤0“, pilih negatif (-)

8. Kalimat HP

    Bentuk kalimat himpunan penyelesaian berdasarkan gambar segmen penyelesaian, yaitu:

HP={x/a<x<b} (benar)

HP={x/a>x>b} (salah)

HP={x/x>a atau x<b} (salah)

HP={x/a≤x≤b} (benar)

HP={x/a<x<b} (salah)

HP={x/x≥a atau x≤b} (salah)

HP={x/x<a atau x>b} (benar)

HP={x/a<x<b} (salah)

HP={x/x>a atau x<b} (salah)

HP={x/x≤a atau x≥b} (benar)

HP={x/x<a atau x>b} (salah)

HP={x/a≤x≤b} (salah)

                   1.  x2 – 5x – 6 > 0

HP = {x/x<-1 atau x>6}

                   2. 4x2 + x – 5 ≤ 0

HP = {x/ -5/4≤x≤1}

9. Contoh Soal

    1.  Tentukan HP dari pertidaksamaan 3x²-2x­8>0

           Penyelesaian:

             3x²­2x-8=0  

             (3x+4)(x-2)=0

              X= -4/3   dan x=2

                                                       

             Hp{x|x<­4/3 atau 2<x;X€R}

2.   Selesaikan pertidaksamaan dari  2x²–3x+2≥0

      Penyelesaian:

      ⇨x²–3x–2≥0

      ⇨(2x+1)(x–2)≥0                                  +++       – – –       +++

         2x+1=0  atau  x–2=0

       2x=–1                   x=2                                –½              2 

         x= –½

         Hp{x|x≤­1/2 atau 2≥x;X€R}

3.  Tentukan HP dari pertidaksamaan x²–10x–21<0

     Penyelesaian:

     x²–10x–21<0

     (x–3)(x–7)<0

    Pembuat Nol                                  +++          – – –            +++

    x–3=0     atau    x–7=0                            

    x=3                          x=7                          3                       7

       Hp{x|3<x<7 ;X€R}