APLIKASI TURUNAN

APLIKASI TURUNAN

Jika f(a)=0$f\left(a\right)=0$ dan g(a)=0$g\left(a\right)=0$ , maka limx→af(x)g(x)=limx→af'(x)g'(x)$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{\mathit{f\text{'}}\left(x\right)}{\mathit{g\text{'}}\left(x\right)}$

Jika turunan pertama masih menghasilkan bentuk 00$\frac{0}{0}$ , maka kita turunkan lagi.

limx→af(x)g(x)=limx→af'(x)g'(x)=limx→af''(x)g''(x)=limx→af''(x)g''(x)=…$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{\mathit{f\text{'}}\left(x\right)}{\mathit{g\text{'}}\left(x\right)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{\mathit{f\text{'}\text{'}}\left(x\right)}{\mathit{g\text{'}\text{'}}\left(x\right)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{\mathit{f\text{'}\text{'}}\left(x\right)}{\mathit{g\text{'}\text{'}}\left(x\right)}=\dots$

sampai tidak menghasilkan bentuk 00$\frac{0}{0}$

Tidak semua limit bentuk 00$\frac{0}{0}$ akan lebih mudah dikerjakan dengan dalil L’Hospital.

Contoh : limx→7x−42+x√x+2√−2x−5√$\underset{x\to 7}{\lim }\frac{x-\sqrt{42+x}}{\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-5}}$ akan lebih mudah dikerjakan dengan dalil L’Hospital dari pada dengan cara biasa.

limx→0x32x3+3x4+4x5$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^3}{2x^3+3x^4+4x^5}$ akan lebih mudah dikerjakan dengan cara biasa.

Perhatikan contoh-contoh di bawah ini :

• Selesaikan limx→01−cos2xx2$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-{\cos }^{2}x}{x^2}$
  f(x)=1−cos2x$f\left(x\right)=1-{\cos }^{2}x$ →$\to$ f(0)=1−cos20=1−1=0$f\left(0\right)=1-{\cos }^{2}0=1-1=0$
  g(x)=x2$g\left(x\right)=x^2$ →$\to$ g(0)=02=0$g\left(0\right)=0^2=0$
  limx→01−cos2xx2=limx→02cosxsinx2x$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-{\cos }^{2}x}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\cos x\sin x}{2x}$      sin2x=2sinxcosx$\sin 2x=2\sin x\cos x$
  =limx→0sin2x2x$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 2x}{2x}$   masih berbentuk 00$\frac{0}{0}$
  =limx→02cos2x2$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\cos 2x}{2}$
  =2cos02$=\frac{2\cos 0}{2}$
  =22$=\frac{2}{2}$
  =1$=1$

• Jika limx→4ax+b−x√x2−16=332$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{\mathit{ax}+b-\sqrt{x}}{x^2-16}=\frac{3}{32}$ maka tentukan nilai a$a$ dan b$b$
  Karena penyebutnya g(x)=x2−16$g\left(x\right)=x^2-16$ dan (4)=0$\left(4\right)=0$ ,
  Maka pembilangnya f(x)=ax+b−x−−√$f\left(x\right)=\mathit{ax}+b-\sqrt{x}$ juga harus memenuhi f(4)=0$f\left(4\right)=0$
  Karena nilai limitnya terdefinisi .
  Jadi 4a+b−4–√=0$4a+b-\sqrt{4}=0$ atau 4a+b=2$4a+b=2$ …( 1)
  limx→4ax+b−x√x2−16=332$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{\mathit{ax}+b-\sqrt{x}}{x^2-16}=\frac{3}{32}$ →$\to$ limx→4a−12x√2x=332$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{a-\frac{1}{2\sqrt{x}}}{2x}=\frac{3}{32}$
  a−148=332$\frac{a-\frac{1}{4}}{8}=\frac{3}{32}$
  32a−8=24$32a-8=24$
  32a=32$32a=32$
  a=1$a=1$
  Substitusikan nilai a=1$a=1$ ke persamaan (1 ) : 4a+b=2$4a+b=2$
  4+b=2$4+b=2$ diperoleh b=−2$b=-2$
  Jadi a=1$a=1$ dan b=−2$b=-2$

Sebagai contoh :

1. Tentukan hasil dari 

limx→42x2+x−36x2−x−12

JAWAB : 

1. Dengan dalil L’Hospital
   limx→42x2+x−36x2−x−12=limx→44x+12x−1$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{{2x}^2+x-36}{x^2-x-12}=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{4x+1}{2x-1}$

   =4(4)+12(4)−1$=\frac{4\left(4\right)+1}{2\left(4\right)-1}$

   =177$=\frac{17}{7}$
2. Dengan cara biasa
   limx→42x2+x−36x2−x−12=limx→4(x−4)(2x+9)(x−4)(x+3)$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{{2x}^2+x-36}{x^2-x-12}=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{\left(x-4\right)(2x+9)}{\left(x-4\right)(x+3)}$
   =limx→42x+9x+3$=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{2x+9}{x+3}$
   ==
   2(4)+94+3$=\frac{2\left(4\right)+9}{4+3}$  
   =177

2. Tentukan hasil dari 

limx→12x4+x−32x3+x−3

JAWAB :

1. Dengan dalil L’Hospital
   limx→12x4+x−32x3+x−3=limx→18x3+16x2+1$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{{2x}^4+x-3}{2x^3+x-3}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{8x^3+1}{6x^2+1}$

   =8(1)3+16(1)2+1$=\frac{8{\left(1\right)}^3+1}{6{\left(1\right)}^2+1}$

   =97$=\frac{9}{7}$
2. Dengan cara biasa
   limx→12x4+x−32x3+x−3=limx→1(x−1)(2x3+2x2+2x+3)(x−1)(2x2+2x+3)$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{{2x}^4+x-3}{2x^3+x-3}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1)\left({2x}^3+{2x}^2+2x+3\right)}{\left(x-1\right)({2x}^2+2x+3)}$
   =limx→1(2x3+2x2+2x+3)2x2+2x+3$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left({2x}^3+{2x}^2+2x+3\right)}{{2x}^2+2x+3}$  
   =2+2+2+32+2+3$=\frac{2+2+2+3}{2+2+3}$
   =97$=\frac{9}{7}$